一个角度小题的来龙去脉

前阵子河北衡水的刘通老师在微信上问了我一个题：

题目：给定$\triangle ABC$和其外心$O$，内心$I$，$I$在$BC$上的投影为$D$，$OI$与$\odot(BOC)$的第二交点为$E$，证明$OI$平分$\angle AED$.

这题的证明并不困难，不过要用到之前姚佳斌老师在2019.03.10发在我们爱几何上的一个小题，这里直接把当时萝卜神给的优美证明融入其中。

Proof. 设$A$关于$OI$的对称点为$A’$，$OI$交$BC$于$F$，$AF$与$\odot(ABC)$的第二交点为$X$，$I$关于$\triangle ABC$的圆Ceva三角形为$\triangle UVW$，$A’I$与$\odot(ABC)$的第二交点为$Y$，则$X(BC,DF)=U(WV,UY)=A(CB,AA’)=X(BC,A’A)$，故$A’,D,X$共线，于是其也过$F$关于$\odot(ABC)$的反演点，这正是$E$，于是由对称即得$OI$平分$\angle AED$.$\quad\Box$

不过一开始我并不是这么想的，我注意到了以下事实：该题正是要证明$E$在四边形$ABDC$的巨龙曲线上，但$ABDC$显然有内切圆，故退化为了斜环索线，于是再由，并注意到$ABDC$的Miquel点就是$\triangle ABC$的$A-$伪内切圆切点，Newton线为$BC$中点和内心连线，就得到下面这个小题：

改编：$\triangle ABC$中，$O$是外心，$I$是内心，$N$是弧$BAC$中点，$M$是$BC$中点，$D$是$IO$与$\odot(BOC)$的第二交点，$T$是$NI$与$\odot(ABC)$第二交点.证明：$\angle MIO=\angle IDT$.

但事实上再回忆$D$的反演点正是$OI$和$BC$的交点，我们就得到了简洁一点的版本：

改编（优化版）：给定$\triangle ABC$及其外心$O$，内心$I$，$BC$中点$M$，弧$BAC$中点$N$，$NI$与$\odot(ABC)$的第二交点为$T$，$D$为$OI$与$BC$交点.证明：$\angle MID=\angle DTO$.

后来我把这个题发到了几个群和贴吧里，得到了很多老师和同学的不同解答，具体可以参见：纯几何吧4861，这里不再赘述。