一个困难的平行问题的推广与证明

最近看到人大附中的几何群里有人问了一个问题：

问题：给定$\triangle ABC$及其外心$O$、垂心$H$，$BO\cap AC=E$，$CO\cap AB=F$，$\triangle OEF,\triangle AEF$的垂心分别为$H_1,H_2$.证明：$AH_1//HH_2$.

然后群里大佬们给出的方法似乎都比较繁复，我想了一下这题似乎是可以推广的，简单尝试后发现了如下推广：

推广：给定$\triangle ABC$及其垂心$H$、外心$O$，$P$是平面上一点，设$BP\cap AC=P_2$，$CP\cap AB=P_3$，$\triangle PP_2P_3$、$\triangle AP_2P_3$的垂心分别为$H_1$、$H_2$.证明：$PO\perp P_2P_3\iff AH_1//HH_2$.

然后这个东西我实际上没证出来，证到一半有个地方死活过不去，不过后来被豪神给杀掉了，这里写一下怹的证明.

Proof. 仅证明”$\Longrightarrow$”，另一侧证明类似.设$\triangle ABC$的中点三角形为$\triangle DEF$，$BP_2,CP_3$中点分别为$M,N$，则$M\in DF,N\in DE$，则$MN$是$BCP_2P_3$的Newton线，于是有$MN\perp HH_2$.又利用中位线则可见$ME$中点和$NF$连线平行于$P_2P_3$，也即是说$PO$与$EFMN$的Newton线垂直，而$O$是$\triangle DEF$的垂心，故$PO$正是$EFMN$的垂心线，于是$\triangle DMN$的垂心$H_3$也在其上，但我们看到$H_3$实际上是$\triangle PMN$和$\triangle AP_2P_3$的一个正交中心，于是其有另一个正交中心为过$P_3$作$PM$垂线和过$P_2$作$PN$垂线的交点，这正是$H_1$，于是$AH_1\perp MN$，也即$AH_1//HH_2$.$\quad\Box$

一个问题是怎样准确画出题目图形呢？经过简单计算可以发现：$P$在原三角形三顶点、三边中点、外心、$A$关于外心和$BC$中点的两对称点所共三次曲线上.这解决了如何在Geogebra中作图的问题，但在几何画板中还没有解决.

不过这个东西让我想起来另一个命题，也就是“一点在重心的主等角共轭三次曲线上等价于其与外心连线垂直于它的三线性极线”.我们回顾之前文章中的，事实上可以完全类似地证明：

命题：给定平面上一三角形，一点与外心连线垂直于其Ceva三角形一边当且仅当其关于原三角形的等角共轭点在自己关于原三角形的垂足三角形的旁重心（重心的反Ceva三角形的对应顶点）的主等角共轭三次曲线上.

如此，就可以在几何画板中画出准确图形了.